Cajas de problemas | El juego de la ciencia

Cajas de problemas |  El juego de la ciencia

En el problema de la semana pasada de las tres esferas en una caja, la única dificultad es calcular una de las dimensiones de la base, ya que la otra es obviamente el doble del diámetro de las esferas y la altura es ese diámetro (10 cm). Y la dimensión faltante tampoco es difícil de encontrar si nos damos cuenta de que es igual a la altura del triángulo equilátero determinada por los centros de las esferas más el doble de su radio, es decir, 10 + 5√3 = 18,66 cm.

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Como la primera vez que propuse el problema hace dos semanas, no venía acompañado del dibujo correspondiente, un lector entendió que la caja era cúbica, y la confusión lo llevó a descubrir otro problema interesante: poner tres esferas iguales de radio máximo dentro un cubo de lado 1. El radio de las esferas no es difícil de calcular (¿cuánto es?); pero lo más curioso de este packaging es que, como se puede apreciar en la figura, en la caja cúbica cabe una cuarta esfera del mismo tamaño.

La semana pasada se mencionaron otros problemas de cajas y paquetes en la sección de comentarios, y uno de ellos (ver el comentario 22) me sugirió la siguiente variación:

Una empresa de mensajería opera exclusivamente con cajas ortoédricas, ninguna de las tres dimensiones (largo, ancho y alto) de las cuales puede superar el metro. ¿Es posible enviar una caja rígida de 20 x 90 x 120 cm a través de esta empresa?

Y hablando de variaciones, aquí hay un clásico relacionado con la caja de dos cerraduras de hace unas semanas:

Tres socios comparten una caja fuerte con múltiples cerraduras. Ninguno de los dos puede abrir la caja solo, pero dos socios pueden abrirla sin el tercero. ¿Cuántos candados hay en la caja y qué llaves tiene cada socio?

¿Y si hay cuatro socios? Como en el caso anterior, se necesita una mayoría para poder abrir la caja: cualquier grupo de tres socios puede abrirla, pero ningún grupo de dos puede abrirla.

Es interesante generalizar el problema para n socios siempre que cualquier subconjunto mayoritario de ellos pueda abrir la caja, pero ninguna no mayoría puede hacerlo.

Cajas fuertes lógicas

Para acabar (por ahora) con los problemas de la caja de cambios, el del maestro Raymond Smullyan inspirado en El mercader de Venecia por Shakespeare:

Portia tiene tres cofres, uno en oro, uno en plata y uno en plomo, y en uno de los cofres está su retrato. Junto a cada cofre hay un cartel: en el signo del cofre de oro está escrito «El retrato está aquí», en el signo del cofre de plata dice «El retrato no está aquí» y en el signo del cofre de plomo dice «El retrato no está en el cofre dorado. Sabiendo que a lo sumo uno de los tres signos es verdadero, ¿en qué cofre está el retrato de Portia?»

Y una variante un poco más complicada:

En el letrero de la caja fuerte de oro está escrito «El retrato no está en la caja fuerte de plata», en el letrero de la caja fuerte de plata dice «El retrato no está aquí» y en el letrero de la caja fuerte en plata. Plomo dice “El retrato está aquí”. Sabiendo que al menos una de estas tres afirmaciones es verdadera y que al menos una es falsa, ¿en qué caja fuerte está el retrato de Portia?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 libros de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre los que se encuentran «Maudite Physique», «Maudite Maths» o «Le grand jeu». Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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